By Victor Powell and Lewis Lehe EN
and Translate by Harebert
特征值/向量对于理解电路、机械系统、生态学甚至Google的PageRank算法至关重要。让我们看看可视化是否能使这些概念更直观。
首先，设$v$为一个向量（表示为一个点），$A$为一个具有列$a_1$和$a_2$的矩阵（表示为箭头）。如果我们将$v$乘以$A$，那么$A$将$v$发送到一个新的向量$Av$。
如果你可以通过三个点 $(0,0)$、$v$ 和 $Av$ 画一条直线，那么 $Av$ 就是 $v$ 乘以一个数 $\lambda$ 的结果；也就是说，$Av = \lambda v$。在这种情况下，我们称 $\lambda$ 为特征值，$v$ 为特征向量。例如，在这里 $(1,2)$ 是一个特征向量，$5$ 是一个特征值。
在下面，改变 $A$ 的列并将 $v$ 拖动到成为一个特征向量。请注意以下三个事实：首先，与特征向量在同一条直线上的每个点都是一个特征向量。这些直线是特征空间，每个特征空间都有一个关联的特征值。其次，如果你将 $v$ 放置在具有关联特征值 $\lambda<1$ 的特征空间（无论是 $s_1$ 还是 $s_2$），那么 $Av$ 比 $v$ 更接近 $(0,0)$；但当 $\lambda>1$ 时，它则更远。第三，两个特征空间都依赖于 $A$ 的两列：不是 $a_1$ 只影响 $s_1$。
如果你不断地将 $v$ 乘以 $A$，你会得到一个序列 ${v, Av, A^2v}$ 等等。特征空间吸引着这个序列，而特征值告诉你它最终是否到达 $(0,0)$ 或远离它。因此，特征向量/值告诉我们关于逐步演化的系统的信息。
让我们探索一些这些序列的应用和属性。
假设你有一些阿米巴在培养皿中。每一分钟，所有成年阿米巴会产生一个幼年阿米巴，并且所有幼年阿米巴会长成成年阿米巴（注意：这并不是阿米巴真正的繁殖方式）。所以，如果 $t$ 是一分钟，则该系统的方程为
我们可以将其以矩阵形式重写为
在下面，按下“前进”按钮以前进一分钟。总人口数就是斐波那契数列。
正如你所看到的，系统朝着灰色线条前进，它是一个特征空间，其 $\lambda = (1+\sqrt 5)/2 > 1$。
假设每年有一部分 $p$ 的纽约人搬到加利福尼亚，一部分 $q$ 的加利福尼亚人搬到纽约。拖动圆圈来决定这些比例和每个州的起始人数。
为了更好地理解该系统，我们可以从矩阵的角度来表达它，如下所示：
事实证明，像 $A$ 这样的矩阵，其元素为正且列之和为一（试试看！），被称为马尔可夫矩阵，并且它的最大特征值总是 $\lambda = 1$。这意味着存在一个值 $v_t$，使得 $Av_t = \lambda v_t = 1 v_t = v_t$。在这个“稳态”下，每个方向上的人口流动数量相同，人口将永远保持不变。将鼠标悬停在动画上，观察系统趋向稳态。
要了解更多关于马尔可夫矩阵的内容，请参阅我们对马尔可夫链的解释。
到目前为止，我们只看过具有实特征值的系统。但是看看方程 $ Av = \lambda v$，谁能说 $\lambda$ 和 $v$ 不能具有一些虚部呢？它不能是一个复数吗？例如，
在这里，$1+i$ 是一个特征值，$(1, i)$ 是一个特征向量。
如果一个矩阵具有复特征值，它的序列会围绕着 $(0,0)$ 旋转。要看到这一点，拖动 $A$ 的列（箭头）直到你得到一个螺旋形。特征值会在右侧的实部/虚部平面上绘制出来。你会发现，无论从哪里开始，只要特征值有一个虚部，系统就会螺旋旋转。
我们只是初步了解了线性代数的一部分。要了解更多，请查看传奇人物 Gilbert Strang 在 MIT 的开放式课程网站上的线性代数课程。为了更多地练习特征值/向量的应用，还可以参考出色的常微分方程课程。